Výpočty

Obsah:
Převod občanského data na Juliánské
Převod Juliánského data na občanské
Převod mezi sférickými a pravoúhlými souřadnicemi
Řešení Keplerovy rovnice
Elipsa
Parabola
Hyperbola
Pohyb po kuželosečce
Pohyb po elipse
Pohyb po parabole
Barkerova rovnice
Řešení Barkerovy rovnice
Pohyb po hyperbole
Převod souřadnic na dráze na rovníkové nebo ekliptikální souřadnice
Směrové kosiny dráhy
Sklon ekliptiky k rovníku pro zadané datum

Výpočet efemerid planet, planetek, komet, ...

Převod občanského data na JuliánskéObsah

Výpočet juliánského data z občanského data:

R - rok,
M - měsíc,
D - den,
JD - Juliánské datum.

Pro M < 3: f = M +12, g = R - 1.
Pro M ≥ 3: f = M, g = R.

JD = D + { (153 f - 457) / 5 } + 365 g + [g / 4] - [g / 100] + [g / 400] + 1721118.5.

[a] značí celou část čísla a, tedy nejbližší menší celé číslo,
{a} značí číslo a s useknutou desetinnou částí.

Algoritmus je převzat ze stránek: vsg.cape.com/~pbaum/date/date0.htm

Viz též:
 Juliánské datum

Převod Juliánského data na občanskéObsah

Výpočet občanského (v praxi běžně užívaného) data z data juliánského:

JD - Juliánské datum.

z = [JD + 0.5],
pro z < 2299161: b = 0, c = z + 1524.
Pro z ł 2299161: b = [(z - 1867216.25) / 36524.25],
c = z + b - [b / 4] + 1525.
d = [(c - 122.1)/365.25],
e = 365 d + [d/4],
f = [(c - e)/30.6001],
Den = [c - e + 0.5] - [30.6001 f] + JD + 0.5 - z,
Měsíc = f -1 - 12 [f/14],
Rok = d - 4715 - [(7 + Mes) / 10].

Viz též:
 Juliánské datum

Převod mezi sférickými a pravoúhlými souřadnicemiObsah

Sférické souřadnice:

q - délka (např. rektascenze),
j - šířka (např. deklinace),
r - průvodič.
Pravoúhlé souřadnice:
x, y, z.
Sférické --> pravoúhlé:
x = r cos q cos j
(1)
y = r sin q cos j
z = r sin j
Pravoúhlé --> sférické:
(2)


(3)


(4)

pro x , y =0, z > 0 je j = +90°,
pro x , y =0, z < 0 je j = -90°.
Poznámka: Pozor při převodu rektascenze. Ta se vyjadřuje v hodinách a před převodem je třeba ji převést na stupně (tedy vynásobit 15ti).

Viz též:
 Sférické souřadnice

Řešení Keplerovy rovniceObsah

Keplerovu rovnici nelze řešit přímo, je to možné pouze numericky, postupnými aproximacemi. Existuje více různých metod, uvedeme zatím nejjednodušší - Newtonovu.

M - střední anomálie
E - excentrická anomálie

První hodnotu E0 určíme jako

E0 = M,
další ze vztahu
(5)
E1 = M + e sin E0, ...
En = M + e sin En-1;
tento postup opakujeme tak dlouho, až se hodnoty En a En-1 od sebe neliší více, než je požadovaná přesnost.

Viz též:
 Anomálie

ElipsaObsah

Označení veličin:

a - hlavní poloosa,
e - numerická (číselná) výstřednost,
b - vedlejší poloosa,
p - parametr,
q - vzdálenost v pericentru,
Q - vzdálenost v apocentru,
r - vzdálenost bodu od ohniska,
v - pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danému bodu).

Polární rovnice elipsy (počátek v ohnisku):

(6)
Převodní vztahy mezi veličinami:

(7)

ParabolaObsah

Označení veličin:

p - parametr,
q - vzdálenost pericentra,
e = 1 - numerická výstřednost,
r - vzdálenost bodu od ohniska,
v - pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danému bodu).

Polární rovnice paraboly (počátek v ohnisku):

(8)
Převodní vztahy mezi veličinami:

(9)

HyperbolaObsah

Označení veličin:

a - Hlavní poloosa,
e - numerická (číselná) výstřednost,
b - vedlejší poloosa,
p - parametr,
q - vzdálenost v pericentru,
r - vzdálenost bodu od ohniska,
v - pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danému bodu).

Polární rovnice hyperboly (počátek v ohnisku):

Převodní vztahy mezi veličinami:

(10)

Pohyb po kuželosečceObsah

Označení veličin:

v - pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danému bodu),
u - úhlová rychlost ( = dv/dt )
e - numerická výstřednost dráhy,
p - parametr dráhy,
G - univerzální gravitační konstanta,
MS - hmotnost soustavy (součet hmotností centrálního a obíhajícího tělesa),
r - vzdálenost od centra (ohniska),
V - rychlost na dráze,
x, y - souřadnice v rovině dráhy s počátkem v ohnisku a osou x mířící k pericentru,
vx, vy - složky rychlosti na dráze v souřadnicích x, y,
vr - radiální složka rychlosti na dráze (ve směru průvodiče),
vt - kolmá složka rychlosti na dráze (kolmá k radiální),
Velikosti a jednotky konstant:

G = 6,672 10-11 N m2 kg-2
Sluneční soustava:
MS = 1,9891 1030 kg
GMS = 1,32712 1020 m3 s-2
GMS = 2,959122083 10-4 AU3 d-2
Převodní vztahy mezi veličinami:

Polární rovnice kuželosečky:

(11)

Keplerův zákon ploch:
(12)

(13)

(14)

(15)

Poznámka: Jak je patrné, uvedené vztahy nevyjadřují explicitní závislost veličin na čase. Obecně to nelze a v následujících kapitolách probereme tyto případy zvlášť pro elipsu, parabolu a hyperbolu.

Pohyb po elipseObsah

Označení veličin a konstant je stejné jako v kapitole Pohyb po kuželosečce. Navíc ještě zavedeme následující:

M - střední anomálie,
E - excentrická anomálie,
a - velká poloosa dráhy,
n - střední denní pohyb,
k - Gaussova gravitační konstanta,
kS - Gaussova gravitační konstanta ve stupních,
vp - rychlost v pericentru,
va - rychlost v apocentru,
T - oběžná doba,
t - čas,
T0 - okamžik průchodu pericentrem.

Velikosti a jednotky konstant:

Sluneční soustava:
k = 0.01720209895
GMS = k2 AU3 d-2
kS = k 180/p = 0.985607614
Závislost na čase vstupuje do problému pohybu po elipse se střední anomálií: Známe-li okamžik průchodu tělesa pericentrem T0, můžeme pro okamžik t vyjádřit střední anomálii jako
(16)
M = n ( t - T0 )
V případě, že známe střední anomálii tělesa M0 pro zadaný časový okamžik t0, pak
(17)
M = n ( t - t0 ) + M0
V obou rovnicích je
(18)
Ze střední anomálie vyjádříme excentrickou anomálii E řešením Keplerovy rovnice
E - e sin E = M   pro M, E v rad.

E - (180/p) e sin E = M   pro M, E ve stupních.

Ostatní veličiny vyjádříme pomocí těchto vzorců:
(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

Viz též:
 Elipsa, Anomálie

Pohyb po paraboleObsah

Označení veličin a konstant je stejné jako v kapitole Pohyb po kuželosečce. Navíc zavedeme následující:

B - analogie střední anomálie,
vp - rychlost v pericentru,
q - vzdálenost v pericentru,
t - čas,
T0 - okamžik průchodu pericentrem.
Problém pohyb po parabole je ze všech nejjednodušší. Jediný problém představuje převod analogie střední anomálie B na pravou anomálii.

Závislost na čase vstupuje do problému pohybu po parabole vztahem

(27)
Převod mezi analogií střední anomálie B a pravou anomálií v určuje Barkerova rovnice
(28)
Řešení této rovnice raději věnujeme následující kapitolu.

Ostatní veličiny vyjádříme ze vztahů

(29)

(30)

(31)

(32)

Viz též:
 Parabola

Řešení Barkerovy rovniceObsah

Rovnici

řešíme následujícím způsobem:

Nejprve vypočteme pomocnou veličinu b z rovnice

(33)
Potom vypočteme pomocnou veličinu g z rovnice
(34)
Pravou anomálii v potom vyjádříme z
(35)
Viz též:
 Pohyb po parabole

Pohyb po hyperboleObsah

Označení veličin a konstant je stejné jako v kapitole Pohyb po kuželosečce. Navíc ještě zavedeme následující:

M - analogie střední anomálie,
H - analogie excentrické anomálie,
a - velká poloosa dráhy,
n - analogie střední denního pohybu,
k - Gaussova gravitační konstanta,
kS - Gaussova gravitační konstanta ve stupních,
vp - rychlost v pericentru,
T - oběžná doba,
t - čas,
T0 - okamžik průchodu pericentrem.

Závislost na čase vstupuje do problému pohybu po hyperbole s analogií střední anomálie: Známe-li okamžik průchodu tělesa pericentrem T0, můžeme pro okamžik t vyjádřit M jako

(36)
M = n ( t - T0 )
V případě, že známe analogii střední anomálie tělesa M0 pro zadaný časový okamžik t0, pak
(37)
M = n ( t - t0 ) + M0
V obou rovnicích je
(38)
Z M vyjádříme analogii excentrické anomálie H řešením rovnice
(39)
e sinh H - H = M.
Při řešení této rovnice postupujeme takto: jako nultou aproximaci H zvolíme hodnotu
a další hodnoty ze vztahu
Iterační proces opakujeme tak dlouho, dokud se od sebe hodnoty Hn a Hn+1 neliší méně, než je požadovaná přesnost.

Protože M ani H nemají v tomto případě rozměr úhlu (jako v případě pohybu po elipse), nemá smysl zabývat se otázkou, zda je budeme vyjadřovat ve stupních nebo v radiánech.

Ostatní veličiny vyjádříme pomocí těchto vzorců:

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

Viz též:
 Hyperbola

Převod souřadnic na dráze na rovníkové nebo ekliptikální souřadniceObsah

Máme-li pravúhlé souřadnice x, y na dráze tělesa (počátek v centrálním tělese), vypočtené podle vzorců (22), (29) nebo (42) (v případě pohybu po elipse, parabole, nebo hyperbole), můžeme je převést na pravoúhlé rovníkové nebo ekliptikální s počátkem v centrálním tělese (např. heliocentrické) X, Y, Z použitím těchto vzorců:

(47)
X = P1 x + Q1 y,
Y = P2 x + Q2 y,
Z = P3 x + Q3 y.
Pi a Qi (i = 1, 2, 3) jsou konstanty (tzv. směrové kosiny dráhy), které se spočtou z elementů dráhy:
  • Pro převod na ekliptikální souřadnice:

    (48)
  • Pro převod na rovníkové souřadnice:

    (49)

    kde

    (50)

w je argument délky perihelia, W je délka výstupného uzlu a e je sklon ekliptiky k rovníku (viz níže).

Geometrický význam směrových kosinů:
Pi jsou složky jednotkového vektoru P mířícího od centra do směru pericentra (směr osy x souřadnic na dráze), vyjádřené v ekliptikální nebo rovníkové souřadnicové soustavě.
Qi jsou složky vektoru kolmého na P a ležícího na dráze (směr osy y souřadnic na dráze), vyjádřené v ekliptikální nebo rovníkové souřadnicové soustavě.

Viz též:
 Systémy souřadnic

Sklon ekliptiky k rovníku pro zadané datumObsah

Sklon ekliptiky k rovníku e pro juliánské datum JD vypočteme takto:

Spočteme čas uplynulý od standardní epochy J2000,0, vyjádřený v juliánských stoletích

T = (JD - 2451 545.0) / 36 525.

Sklon eklitpiky je pak roven

(51)


Výpočet efemerid planet, planetek, komet, ...Obsah

V této kapitole shrneme postup, kterým získáme rektascenzi a deklinaci a/nebo ekliptikální délku a šířku tělesa, které se pohybuje po kuželosečce s ohniskem ve Slunci, na pozemské obloze (geocentrické souřadnice).
Vycházet budeme ze známých elementů dráhy.

Elementy, které musíme znát, jsou:

  • elementy dráhy Země,
  • elementy dráhy tělesa.

  1. Nejprve pro zadaný okamžik spočteme Juliánské datum. Před vlastním výpočtem musíme datum a čas převést do světového času (tedy např. 2.1.2001 0h 50m SEČ je 1.1. 2001 23h 50min SČ). K vypočtenému Juliánskému datu je třeba přičíst zlomek dne, získaný z času:

    Dt = h/24 + m/(24 60) + s(24 3600).

    Stejně tak je třeba převést na Juliánské datum i okamžik průchodu tělesa periheliem (případně okamžik, pro který známe střední anomálii M0).
  2. V případě pohybu tělesa po elipse (e < 1) určíme střední anomálii M podle rovnic (16) nebo (17).
    V případě pohybu po parabole (e = 1) určíme analogii střední anomálie B podle rovnice (27).
    V případě pohybu po hyperbole (e > 1) určíme analogii střední anomálie M podle rovnice (36).
  3. Určíme pravoúhlé souřadnice tělesa x, y v rovině dráhy, podle postupu popsaného v kapitolách Pohyb po elipse (rovnice (22)), Pohyb po parabole (rov. (29)) nebo Pohyb po hyperbole (rov. (42)).
  4. Spočteme heliocentrické souřadnice tělesa X, Y, Z (rovníkové nebo ekliptikální) podle kapitoly Převod souřadnic na dráze na rovníkové nebo ekliptikální souřadnice.
  5. Celý postup podle bodů 2. až 4. zopakujeme pro Zemi. Získáme tak heliocentrické souřadnice Země Xz, Yz, Zz.
  6. Spočteme pravoúhlé geocentrické souřadnice tělesa:

    Xg = X - Xz
    Yg = Y - Yz
    Zg = Z - Zz

  7. Převedeme pravoúhlé geocentrické souřadnice tělesa na sférické souřadnice podle kapitoly Převod mezi sférickými a pravoúhlými souřadnicemi.

    Souřadnice r má pak význam vzdálenosti tělesa od Země, úhlové souřadnice q a j mají význam buď rektascenze a deklinace (v případě, že jsme počítali s rovníkovými souřadnicemi X, Y, Z), nebo ekliptikální délky a šířky (v případě výpočtu ekliptikálních souřadnic).